主线：电场遇到导体和介质分界面时会受到约束；电容是几何结构和介质对电场分布的结果。

静电场基本方程

$$
\nabla\times\mathbf{E}=0
$$

$$
\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho
$$

$$
\mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}
$$

对应图像：

  • $\nabla\times\mathbf{E}=0$：静电场是保守场，可以写成 $\mathbf{E}=-\nabla\varphi$。
  • $\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho$：自由电荷是电位移矢量的源。

介质分界面边界条件

电场分成切向和法向：

$$
\mathbf{E}=\mathbf{E}_t+\mathbf{E}_n
$$

切向条件：

$$
E_{1t}=E_{2t}
$$

或写成：

$$
\mathbf{n}\times(\mathbf{E}_2-\mathbf{E}_1)=0
$$

法向条件：

$$
D_{2n}-D_{1n}=\rho_s
$$

或写成：

$$
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{D}_2-\mathbf{D}_1)=\rho_s
$$

无自由面电荷时：

$$
D_{1n}=D_{2n}
$$

若两侧介电常数不同：

$$
\varepsilon_1E_{1n}=\varepsilon_2E_{2n}
$$

记法：

  • $E_t$ 连续。
  • $D_n$ 的突变量等于自由面电荷密度。
  • $D_n$ 连续不代表 $E_n$ 连续，因为 $D=\varepsilon E$。

导体边界条件

静电平衡时：

$$
\mathbf{E}_{\text{in}}=0
$$

导体内部和表面等势：

$$
\nabla\varphi=0
$$

导体表面电场无切向分量：

$$
E_t=0
$$

导体表面外侧电场只沿法向：

$$
D_{\text{out},n}=\rho_s
$$

真空或空气中：

$$
E_{\text{out},n}=\frac{\rho_s}{\varepsilon_0}
$$

电容

定义：

$$
C=\frac{Q}{U}
$$

电容不是“单纯存电荷”，而是一定电压下结构能容纳多少等量异号电荷。

平行板电容

板间近似均匀电场：

$$
E=\frac{U}{d}
$$

电荷面密度：

$$
\sigma=\varepsilon E
$$

总电荷：

$$
Q=\sigma S=\varepsilon ES
$$

因此：

$$
C=\frac{Q}{U}=\frac{\varepsilon S}{d}
$$

影响因素：

  • $S$ 越大，电容越大。
  • $d$ 越小，电容越大。
  • $\varepsilon$ 越大，电容越大。

同轴线单位长度电容

内导体半径 $a$，外导体内半径 $b$：

$$
C’=\frac{2\pi\varepsilon}{\ln(b/a)}
$$

这个量后面直接进入传输线参数：

$$
Z_0=\sqrt{\frac{L’}{C’}}
$$

静电能量

电容储能：

$$
W_e=\frac12QU=\frac12CU^2=\frac{Q^2}{2C}
$$

场能密度：

$$
w_e=\frac12\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}
$$

线性均匀介质中：

$$
w_e=\frac12\varepsilon E^2
$$

总电场能量：

$$
W_e=\int_V\frac12\varepsilon E^2,dV
$$

关键图像：

电能不只是“在电容器元件里”，更准确地说是储存在电场所在空间里。

典型任务

题目类型 入口
导体表面外侧电场 $E=\rho_s/\varepsilon$
介质分界面场关系 拆成 $E_t$ 与 $D_n$
求电容 假设 $U$，求 $\mathbf{E}$，再求 $Q$，最后 $C=Q/U$
求静电能量 用 $C,U,Q$ 公式或场能积分

连接

  • 波导金属壁：切向电场为 0。
  • 传输线：单位长度电容 $C’$ 来自横截面上的静电场。
  • 谐振器：电场能量和磁场能量相互转换。

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