主线：静态场只看电荷或电流；时变场里，变化的电场和变化的磁场会互相激发，形成电磁波。

Maxwell 方程组

微分形式：

$$
\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho
$$

$$
\nabla\cdot\mathbf{B}=0
$$

$$
\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}
$$

$$
\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}
$$

积分形式：

$$
\oint_S\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=Q
$$

$$
\oint_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0
$$

$$
\oint_C\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}
=-\frac{d}{dt}\int_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}
$$

$$
\oint_C\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}
=I+\frac{d}{dt}\int_S\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}
$$

四条方程的物理图像

方程 图像
$\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho$ 电荷是电场源
$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$ 磁力线闭合
$\nabla\times\mathbf{E}=-\partial\mathbf{B}/\partial t$ 变化磁场产生旋涡电场
$\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}+\partial\mathbf{D}/\partial t$ 电流和变化电场产生磁场

位移电流

位移电流密度：

$$
\mathbf{J}_d=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}
$$

作用：

  • 修正安培环路定律。
  • 解释电容间隙中没有传导电流但仍能有磁场。
  • 使电场变化也能产生磁场。

这一步是从电路走向电磁波的关键。

坡印亭矢量

定义：

$$
\mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H}
$$

单位：

$$
\mathrm{W/m^2}
$$

含义：

单位面积上电磁能量流动的功率密度。

方向由 $\mathbf{E}\times\mathbf{H}$ 决定，也就是电磁能量传播方向。

正弦时变场

用相量表示：

$$
\mathbf{E}(t)=\mathrm{Re}{\tilde{\mathbf{E}}e^{j\omega t}}
$$

时域微分可替换为：

$$
\frac{\partial}{\partial t}\rightarrow j\omega
$$

频域 Maxwell 方程：

$$
\nabla\times\tilde{\mathbf{E}}=-j\omega\tilde{\mathbf{B}}
$$

$$
\nabla\times\tilde{\mathbf{H}}=\tilde{\mathbf{J}}+j\omega\tilde{\mathbf{D}}
$$

介质中的本构关系

线性均匀各向同性介质：

$$
\mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}
$$

$$
\mathbf{B}=\mu\mathbf{H}
$$

$$
\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}
$$

介质性质主要由 $\varepsilon,\mu,\sigma$ 决定。

连接

  • 位移电流让电磁波可以在无自由电流空间中传播。
  • 坡印亭矢量把“场”转换成“功率流”。
  • 正弦相量是后面微波工程公式的默认语言。

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